なぜ、その解法を思いつくのか？数学ができる人とできない人の差はどこにあるのか？ この記事では、数学者の芳沢光雄さんの最新数学書『いかにして解法を思いつくのか「高校数学」』（上・下）の執筆背景にあったという、「数学における13個の考え方」による「発見的問題解決法」という着想をもとに、「数学の土台となる考え方」を身につけるための思考法を紹介します。 今回は「13個の考え方」から「効果的な記号を使う」「一般化して考える」「条件を使いこなしているか」という3つの思考法を、高校数学の問題をもとにみていきます。 3つの「発見的問題解決法」 以前の記事では、小学生から大学生まで「やり方」の暗記による学習法が目立つ一方で、用語の理解や試行錯誤の問題を軽んじる傾向があることを全国規模の学力テストなどの事例をもとに示した。 また、最新刊では「新しいものを創造する時代」であることを踏まえ、「試行錯誤の精神」を礎（いしずえ）にして、戦後の高校数学で扱った全項目を取り上げながら、数学における13個の思考法を「発見的問題解決法」として意識して解説した。 これまでの記事では、数学における13個の「発見的問題解決法」のなかから、「帰納的な発想を用いる」、「類推する」、「背理法を用いる」、「逆向きに考える」、「特殊化して考える」について述べた。 そこで、この記事では、「効果的な記号を使う」「一般化して考える」「条件を使いこなしているか」という３つの思考法について説明しよう。 じつは日常でも使っている「効果的な記号を使う」という発想 ネットの記事を執筆するときには、使用できる文字に制限があるため、数式の展開を細かく書くと、逆に読みにくくなってしまう。そこで、筆者は詳しい数式の展開はあまり記述せずにわかりやすく説明することに気をつけている。 じつは、この事実こそが、発見的問題解決法のひとつ「効果的な記号を使う」の例なのである。ようするに数学の記号は、「効果的な記号を使う」によって、扱いやすいように洗練されてきたのである。これに関する高校数学の例題を紹介しよう。 例題1：次の計算をせよ。 1の2乗＋3の2乗＋……＋（2n−1）の2乗 解説：この式をΣ（シグマ）を用いて表すことによって、 Σ（kは1からnまでの和）｛（2k−1）の2乗｝ と表せる。これを変形すると以下のようになるが、この間の変形こそが「効果的な記号を使う」ことの成果であろう。なおシグマに関しては、どれも（kは1からnまでの和）が付いているものとする。 4×Σ（kの2乗）−4×Σk＋4×Σ1 以下、上式を計算すればよいのである。 「一般化して考える」という問題解決法 次に、発見的問題解決法の一つである「一般化して考える」ことについて述べよう。 例題2：鶴と亀が合わせて50匹いて、それらの足の本数の合計は140本である。このとき、鶴と亀はそれぞれ何匹か。 解説1：算数式での答え 全部が鶴とすると、足の本数の合計は 2×50＝100（本） である。実際は140本なので、その差は40本である。この差は、亀がいるために起こった数である。亀が1匹いると足の本数の合計は2本増え、亀が2匹いると足の本数の合計は4本増え、亀が3匹いると足の本数の合計は6本増え、……、となる。したがって、以下の答えを得る。 亀の数＝40÷2＝20（匹） 鶴の数＝50−20＝30（匹） 解説2：中学数学式での答え 鶴がx匹いるとすると、亀は（50−x）匹いることになる。したがって題意より、 2x＋4（50−x）＝140 2x＋200−4x＝140 −2x＝−60 x＝30（匹） を得る。よって、鶴は30匹いて、亀は20匹いることになる。 算数と中学数学の違いは「一般化」にある 上の2つの「答え」を比べると、算数式の方は問題にある数字だけを使って四則計算をして答えを得ている。それに対して、数学式の方はxを用いて1元1次方程式の世界に「一般化」させて答えを導いている。 高校数学に目を向けると、入学試験の答案に「2次方程式の解の公式によって……」とか「三角関数の加法定理によって……」と書いてあっても、採点者としては違和感をもたない。 しかし、「（2次関数と直線のグラフで囲まれた部分の面積を与える）「1/6公式によって……」とか「（不定形の極限を求める）ロピタルの定理によって……」と書いてあると、違和感をもつ。 とくに、ロピタルの定理は微妙な仮定があるだけに、それを無視して用いると思わぬ間違いが生じることがある。これに関しては拙著 『新体系・大学数学入門の教科書（上）』で、オーストリアの数学者Otto Stolz（1842〜1905）が1879年に論文で発表した例を示して詳しく説明しているので、参考になるだろう。 高校数学における「一般化」の考え方とは 以下、高校数学の話題から「一般化して考える」一つの例を紹介しよう。 例題3：楕円 {(xの2乗)/9}＋{(yの2乗)/4}＝1 上の点（2,(2√5)/3）における接線の方程式を求めよ。 解説：冒頭で紹介した拙著では、次の2通りの解法による答えを示した。 ・微分を用いないで、2次方程式の重解（重根）条件を用いて接線の方程式を導く方法。 ・微分を用いて接線の方程式を導く方法。 もちろん、どちらも数式変形はていねいに一歩ずつ述べたが、前者は非常に計算が面倒になる。 一方、後者は、中心が原点で、長軸と短軸がx軸とy軸上にある楕円の方程式と、その楕円上にある任意の点の座標（a,b）に対し、微分を用いて点（a,b）を通る接線の一般的な式を求める。この計算には複雑な面はない。最後に、求めた式に題意で表した点の座標を代入すれば答えを得る。 誕生日当てクイズに挑戦してみよう 次に、発見的問題解決法のひとつである「条件を使いこなしているか」について述べよう。 筆者は、1990年代半ばから200校を超える小中高校で出前授業を行ってきたが、「あみだくじの仕組み方」「膨大なデータによるじゃんけんの有利な方法」と並んで、「誕生日当てクイズ」は生徒からよく受ける題材である。 質問：生まれた日（の数）を10倍して、それに生まれた月（の数）を加えてください。その結果を2倍したものに生まれた月（の数）を加えると、いくつになりますか。 解説：生まれた月をx、生まれた日をyとすると、この質問では （10×y＋x）×2＋x＝3×x＋20×y を尋ねている。そして、次のように考えると、誕生日の月と日が見付かる。 答えの「3×x＋20×y」を「20」で割った余りは、「3×x」を「20」で割った余りと等しくなる。 xは1以上12以下の整数なので、それらの余りは全部異なることがわかる。実際、3、6、9、…、36それぞれを20で割って余りを求めると、すべて異なっている。それを用いると、xの値が判明する。そこで、yの値も判明するのである。 「質問」の答えから得る方程式はひとつであるが、xとyに制限がつくので、xとyの値がわかるのである。このように、この誕生日当てクイズは「条件を使いこなしているか」の一例であるが、高校数学の話題から同じ内容の例を一つ紹介しよう。 高校数学における「条件を使いこなしているか」の例 例題4：以下の条件を満たす次数が5以下の多項式f(x)を決定せよ。 lim(x→0){ f(x)/x}=10 lim(x→1){ f(x)/(x−1)}=−4 lim(x→2){ f(x)/(x−2)}=26 解説：最初の条件からf(0)=0が成り立つ。なぜならば、 f(0)>0ならばlim(x→+0){ f(x)/x}=∞ となってしまうからである（f(0)<0の場合も同様）。したがって、f(x)はxで割り切れる。 同様にして、f(x)は(x−1)でも(x−2)でも割り切れる。 以上から、5次以下の多項式f(x)は、 f(x)= x(x−1)(x−2){a(xの2乗)+bx+c} とおくことができる。（この段階では、aやbが0の場合も可能性としては残る。） そして仮定より、順に以下を得る。 (−1)(−2)c=10 1(1−2)(a+b+c)=−4 2(2−1)(4a+2b+c)=26 上の3元1次方程式を解けば、 a=5,b=−6,c=5 を得る。それによって求める解は、 f(x)= x(x−1)(x−2){5(xの2乗)−6x+5} となる。 この記事では、「効果的な記号を使う」「一般化して考える」「条件を使いこなしているか」という3つの思考法を紹介した。 まだ紹介していない発見的問題解決法である「定義や基礎に戻る」「図を用いて考える」「兆候から見通す」「対称性を利用する」「見直しの勧め」については、以降の記事で述べるつもりである。 数学のヒラメキを生み出すものは何か？「思いつく人「がやっている「特殊化して考える」という思考法