中学3年生を対象とした全国学力テストで、1983年には約7割が正解していたある数学の問題。だが2012年には、正答率が2割近くも下がっていた。いったい何が起きたのか——。東京理科大学理学部教授や桜美林大学リベラルアーツ学群教授を歴任し、数学教育に半世紀以上携わってきた芳沢光雄氏が、現在の学びの現場に感じている「異変」とその対策を考える。 ＊＊＊ 筆者は専任教員として5つの大学、非常勤講師として5つの大学に勤務し、定年退職となった一昨年の3月末まで45年間に亘ってのべ1万5000人の学生に授業をしてきた（文系・理系ほぼ半々）。また90年代半ばから、小・中・高校合わせて1万5000人を対象として出前授業も行ってきた。 「この問題の“やり方”を教えてください」という生徒の質問に筆者は驚いた—— その長い年月を振り返ると、指摘しなくてはならない大きな変化を感じることがある。それは「試行錯誤」の問題に取り組む学生の姿である。昔は、時間が余った授業中に誰でもチャレンジできる試行錯誤の問題を出すと、全員が楽しく取り組む姿をよく見たものである。 【実際の回答を再現】厳しすぎ？意地悪？漢字テストで”不正解”になった「男」「加」「口」 「この問題の“やり方”を教えてください」 たとえば、「外見同一の玉が13個あって、そのうち1個だけ重さが違う（他と比べて軽いか重いかは不明）。天秤を3回使ってそれを見付ける方法を述べよ」というような易しくない問題である（この問題は拙著『離散数学入門』で述べたように一般化できる）。そして、あまり多くの時間を使うのも如何なものかと思って解法を述べようとすると、「先生、いま考えているから、答えは言わないでください」と怒られたことが何度もあった。それが近年になると、そのような試行錯誤の問題を出すと、直ぐに「この問題の“やり方”を教えてください」という質問がしばしば寄せられたのである。しかも、そのような質問をする学生は真面目で、「やり方」を真似して解くような微分積分の計算問題などは得意である。 ある日、偶然にもそのような質問をしたことがある学生が訪ねてきて、授業ノートを示しながら「今日の授業で試験対策として暗記しておくべきことはどこですか」という質問をしてきた。不思議に思っていろいろ尋ねると、「数学の学びとはやり方の暗記」だけだと思っていたのだ。筆者は学生からの授業感想文は大学を離れても大切に保管してあり、「問題解法の暗記より定理や公式の証明を大切にして、いろいろ考えることを大切にした授業を受けたのは忘れられない」という内容のものが相当多くあることを踏まえると、筆者の驚きが分かってもらえると思う。 同じ傾向は、数学の入学試験の監督をしてきたことからも感じた。昔は記述式試験が中心であったこともあるが、ほぼ全員が終了時間ギリギリまで真剣に答案に向かっていた姿が今も目に浮かぶ。それが近年は、大学入試センター試験のようなマークシート式試験が中心になった影響か、「やり方」を暗記した問題は直ぐに処理して、「やり方」を思い出せない問題は考えることなく飛ばしてしまう姿を多く見るようになった。そして、諦めの早い受験生は机の上で静かに寝てしまう。まるで暗記科目の試験監督をしているような思いをしたのである。 「6分の1公式」をめぐる混乱 「6分の1公式」というものがある。これは、受験生の間ではよく知られた“公式”で、直線と放物線が2つの点で交わるとき、その交点の座標を求めると、積分の計算を一切することなくそれらで囲まれた部分の面積を求めることができるもので、受験生にとっては便利である。要するに、高校数学Iしか履修していない生徒でも、直線と放物線で囲まれた部分の面積は求められるのである。某大学のマークシート式の入学試験で、ある年、「6分の1公式」を使えば直ぐに答えを書ける積分の問題が出題され、その正解率はかなり高かった。ところが、翌年の入学試験で、「6分の1公式」を証明させる記述式の問題が出題されたが、その正解率は惨憺たるものだったのである。 「暗記」「効率」ばかりの受験者を落とすための出題だといえるが、大学側の“対策”はほかにもある。たとえば、某有名国立大学の記述式入試では、「6分の1公式を使うならば証明してから使うこと」という但し書きが事前に周知されていたこともある。また、「数学IIの試験範囲であっても昔のように一般の多項式関数の微分積分は試験範囲とする」という但し書きを事前に周知した別の有名国立大学もあった。そもそも「6分の1公式」は、3次以上の多項式関数と直線で囲まれた部分の面積には適用できないことも背景にあったと想像するが、微分積分の本質的理解を重視する意図があったといえる。 現在は「新しいものを創造することが大切な時代である」とよく言われる。それならば、暗記中心の教育と学びから、いろいろ試行錯誤して考えることが中心の教育と学びに舵を切ることが必要である。 29年間で2割近くも正解率が下がった問題 今から15年ほど前に大学で就職委員長を補職としてお引き受けしたときは、大学生の就職難時代で、就職適性検査の成績を向上させる使命感があった。そこで様々な調査を通して実態を調べたところ、高校数学の微分積分の計算は得意であるものの、「割合％」の問題が苦手だという傾向があった。「2億円は50億円の何％か」（正解は「4％」、誤答では「25％」が多い）、「2000年に対し2001年は20％成長し、2001年に対し2002年は10％成長したものは、2000年に対し2002年は何％成長したことになるか」（正解「32％」、誤答では「30％」が多い）というような問題である。 2012年度の全国学力テストから加わった理科の中学分野（中学3年対象）で、10％の食塩水を1000グラムつくるのに必要な食塩と水の質量をそれぞれ求めさせる問題が出題されたが、「食塩100グラム」「水900グラム」と正しく答えられたのは52.0％に過ぎなかった。1983年に同じ中学3年を対象にした全国規模の学力テストで、食塩水を1000グラムではなく100グラムにしたほぼ同一の問題が出題された。この時の正解率は69.8％だったのである。「割合％」の問題の正解率が深刻になってきた背景を考えると、「比べられる量」「もとにする量」「割合」それぞれの意味を理解させる前から、それらの関係式を暗記させる教育が蔓延ってきたことがある。 たとえば、「は（速さ）・じ（時間）・き（距離）」式と同じように、円の中にそれぞれの先頭の文字「く（くらべる量）」「も（もとにする量）」「わ（割合）」を書く奇妙な“公式”すらある。「割合％」の問題は、「〜の…に対する割合は＠％」「…に対する〜の割合は＠％」「…の＠％は〜」「〜は…の＠％」の表現がどれも同じ意味であることもあって、暗記だけの生徒の頭の中は混乱するようである。 なんにせよ1983年から2012年までの29年間に、2割近くも正解率が下がることは異常であり、その原因は「割合の問題まで理解を軽視して暗記で誤魔化す教育になっている」と筆者は考える。中学3年から大学1年までの約4年間で「割合％」の問題に関して理解が一気に進むとは考え難く、上で述べたような大学生の“珍現象”が現れるのだろう。 危機感がもたらしたコンセプト さて、2015年に刊行した拙著『新体系・高校数学の教科書（上・下）』は、数学I、II、III、A、B、Cという現行教科書のアラカルト方式でなく、1960年代以降の高校数学教科書で扱われたほとんどすべての項目を、大きな一本の体系として捉え、日常生活と結び付く“生きた題材”を多く取り入れて執筆したものである。現在でも、社会人、大学生、高校生など幅広い人達に読んでいただいている一方で、その本の演習書を期待する声がたまに届けられていた。 続編を執筆する運びとなったが、筆者としては当初、各章ごとに基礎的計算問題や「やり方」を真似て解くような平易な問題から始めて、だんだん難しい問題を並べていく従来の参考書タイプの手堅い構成を考えていた。しかし、上述の危機感が頭から離れなかった。そこで得た結論は、前出の拙著に沿って構成し、以下の3つのコンセプトをもつ書を執筆することである。 （1）基礎的計算問題や「やり方」を真似て解くような平易な問題は扱わずに、教科書の章末問題よりやや難しいレベルで、試行錯誤して考える楽しさを味わうような例題を、章ごとの内容をすべてカバーできるように幅広く揃える。 （2）各章の冒頭には、上記の拙著から用語の説明、定理や公式のリストをすべて抜粋して「まとめ」として記述する。それによって、読者にとって他書を一々参照する手間を省くばかりでなく、暗記を極力減らして例題を考えることに集中できるように配慮する。 （3）例題の解説においては、試行錯誤の精神を礎にして、プロセスの理解を重視した丁寧な説明を心掛ける。とくに、様々な「発見的問題解決法」の視点を意識できるようにする。 「試行錯誤」をどう評価するか そのようにして完成した書が近著『いかにして解法を思いつくのか「高校数学」（上・下）』である。ここで、「試行錯誤」と「発見的問題解決法」について若干触れておこう。 世間ではよく「理数系」という言葉を用いて、数学、理科、そして医学などをまとめて表現することがある。しかし筆者は「試行錯誤」という観点から、その用語には違和感をもつ。数学以外の理科や医学の分野では、“失敗”も立派な論文になり得るからである。たとえば、「〜病を治す効果があると予想して、…という薬を試してみたが、効果は見られなかった」というデータも添えた結果は役に立つだろう。 一方、数学の研究で「自分は〜という定理が成り立つと思って証明を試みたが、残念ながらできなかった」という成功しなかった内容については、普通は論文として書くことはない。それは、「もう少し発展させれば証明は成功したかも知れない」ということもあるだろう。これは、生徒が受ける数学の試験でも似たことが言えるはずである。 要するに、数学以外の自然科学の分野では、失敗も含めて「試行錯誤」した内容を公表することは役立つことが多々あるが、数学に関しては、証明が完成したり、最後の答えを導いたりすることができたときに、それらの記述が役立つのだろう。したがって数学を教える側は、結果だけで生徒を評価するのではなく、問題を解決するために試行錯誤していろいろ考えている姿を励ますことが大切だ。 「逆向きに考える」解決法 もうひとつの「発見的問題解決法」は「やり方」の暗記に頼る学びとは違うもので、問題の解法に至るヒントをどのようにして得たかをまとめたものである。人それぞれによってその分類は異なるが、筆者としては次の13個を考えている。 ・帰納的な発想を用いる。 ・定義や基礎に戻る。 ・背理法を用いる。 ・条件を使いこなしているか。 ・図を用いて考える。 ・逆向きに考える。 ・一般化して考える。 ・特殊化して考える。 ・類推する。 ・兆候から見通す。 ・効果的な記号を使う。 ・対称性を利用する。 ・見直しの勧め。 いくつか重複することもあるが、これら13個それぞれを本稿で説明するのはとても無理なので、ここでは世間で「押してダメならば引いてごらん」とよく言われることと似ている「逆向きに考える」について、易しい例も交えて簡単に説明しよう。 幼少期に「迷路」で遊んだ方も多いはずだが、子ども向けのものでは、目的地から出発点に向けて逆に辿ると簡単に解決することがよくある。日常生活でも、新幹線→在来線特急→ローカル線普通列車を乗り継いでA地点からB地点に向かう列車時刻を調べるとき、B地点に間に合うギリギリのローカル線普通列車→それに間に合うギリギリの在来線特急→それに間に合うギリギリの新幹線、の順に調べると、無駄のない検索になる。「逆向きに考える」ことはいろいろな場面で効果的である。 数学の問題を考えるときも同じで、「問題を解決するには〜が分かれば、あとは大丈夫」というような〜が見つかることがある。その過程では、「問題を解決するには何が分かればよいだろうか」というように、逆向きに考えているのである。 Aを問題の仮定（出発点）として、Bを問題の結論（目的地）とする。AからBに向かっての道筋は思いつかないが、BからAを眺めているとき、BとMは本質的に同じことで、「BならばM」も「MならばB」も示せるMの存在に気付いたとする。このとき、AからMが導けたならば、結局、AからBは導けたことになる。およそ数学の問題を「逆向きに考える」方法で解決するときは、そのような形を辿るのである。 最後に、発見的問題解決法は数学の問題ばかりでなく、様々な広い課題にも応用できると考える次第である。 芳沢光雄（よしざわ・みつお） 1953年東京生まれ。東京理科大学理学部（理学研究科）教授を経て、桜美林大学リベラルアーツ学群教授に就任、2023年に定年退職。理学博士。専門は数学・数学教育。近著に『いかにして解法を思いつくのか「高校数学」（上・下）』『昔は解けたのに…大人のための算数力講義』（ともに講談社）ほか著書多数。 デイリー新潮編集部
